CEVAP YÜZEY ANALİZİ (CYA)

Cevap yüzey analizi deneysel çalışmalardaki problemlerin analiz edilmesi, modellenmesi ve optimizasyonu için, faktörler (bağımsız değişkenler) ve ölçülen tepkiler (bağımlı değişkenler) arasında matematiksel bağıntılar kuran istatistiksel bir tekniktir. Başka bir ifadeyle CYA, bağımsız değişkenler ile bağımlı değişken veya değişkenler arasındaki analitik formüllere dayalı bir polinomiyal ilişki oluşturma veya model/fonksiyon uydurma işlemidir ((Palanikumar, Mata et al. 2008), (Chiang 2008), (Gaitonde, Karnik et al. 2009),(Abhang 2010)

CYA ilk olarak 1950’li yılların başında Box ve Wilson (1951) tarafından ortaya atılmıştır. Bu yöntem ile mühendislik uygulamalarındaki bilimsel problemlerin bazı tiplerinin çözümünü istatistiksel olarak yapmak mümkündür. Günümüzde ise özellikle imalat alanında karşılaşılan optimizasyon problemlerinin çözümünde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır (Öktem, Erzurumlu et al. 2005),(Öktem 2009), (Bouacha, Yallese et al. 2010), (Neşeli, Yaldız et al. 2011), (Asiltürk and Neşeli 2012).CYA uygulanmasının amacı, elde edilecek cevapları önceden öngörebilecek, sistemi ifade edebilen uygun fonksiyon bulmak ve optimum imalat koşullarını belirlemektir.

Bir sistemde elde edilen sonuç verileri CYA için cevap değerleridir. Cevaplar normalde sürekli ya da kesintili (başta ve sonda) olarak ölçü aletleriyle okunur ve sistemin en önemli fonksiyonudur. Bu yüzden cevapların mümkün olduğunca özenli ve uygun bir ölçme sistemiyle alınması, modelin güvenilirliği açısından önemlidir. Deneyler sonucunda elde edilen model CYA kullanılarak polinom denklemi şeklinde ifade edilir. CYA’nda esas olan iki kısım vardır:

  • Deneysel olarak belirlenen faktör değerleri sonucunda elde edilen cevapların matematiksel modelde değerlendirilmesi
  • Matematiksel olarak elde edilen modelin istatistiksel olarak analizi

Bu yöntemin avantajları ve dezavantajları Şu şekilde sıralanabilir:

Avantajları;

  • Ele alınan tribosistemdeki sürtünme faktörlerinin analizinin yapılabilmesi
  • Seçilen faktörlere ait birimlerin modele etkilerinin olmaması
  • Oluşturulan model ile sürtünme faktörlerinin optimum çalışma aralığının belirlenebilmesi

Dezavantajları ise;

  • Her sistem için özel olarak uygulanabilir olması
  • Uyarlanacak sisteme uygun olarak belirlenecek bir dizi deneyin yapılması
  • Tahminlerin deney limitleri ile sınırlı olması
  • Faktör sayılarına bağlı olarak deney sayısının üstel olarak artmasıdır.

CYA aşağıda ifade edilen amaçlar doğrultusunda kullanılabilir (Kini 2004):

  • Süreci etkileyen faktör seviyelerinin belirlenmesinde,
  • Arzu edilen optimum noktaya en yakın faktör kombinasyonunun belirlenmesinde,
  • Alan testleri sayesinde sistem davranışlarının tespitinde,
  • Süreç kararlılığı için gerekli koşulların tespitinde.

1.1.  CYA ile Optimizasyon Süreci

CYA metodu ile modelleme ve optimizasyon sürecinin daha iyi anlaşılabilmesi için üç aşamalı algoritma takip edilebilir (Şekil 1.)


1. Aşama:

Sürecin birinci aşamasında var olan fiziksel deney ortamında tepkilerin alınabilmesi için kullanılacak bağımsız parametrelerin ve seviyelerinin tespiti gerçekleştirilir. Ardından parametrelerin kombinasyonu ile deneysel tasarım (DT) oluşturulur. Deneysel tasarım minimum sayıda deneyin gerçekleşmesi ve sonuçların güven aralığında uyum içerisinde olabilmesi için son derece önemlidir. En çok kullanılan deney tasarımları Central composite, Box-Benkhen, tam faktöriyel, kısmi faktöriyel ve rastgele bloklamadır(Montgomery 2005). Ardından faktör etkilerinin belirlenebilmesi için bir dizi deney gerçekleştirilir. Bunlara ilaveten fiziksel deney sisteminden basit bir kavramsal/matematik model oluşumu gerçekleştirilir. Burada amaç etkili olduğu düşünülen parametrelerin en ideal deneysel kombinasyonunu tespit edebilmektir. Kavramsal model faktörlerin ve etkileşimlerinin dahil edildiği birinci ya da ikinci seviyeden bir regresyon modeli veya üssel bir model olarak düşünülebilir. Bu aşamada fiziksel sistemi oluşturan tüm faktörlerin modelin içerisine dahil edilecek şekilde dikkate alınması gerekir.

CYA yöntemine dayalı bir regresyon modeli oluşturmak için doğrusal regresyon modelleri ve bu modelleri oluşturan denklemlerde yer alan katsayıların tahmin edilmesinde kullanılan eğri uydurma işleminin bilinmesi gereklidir. Bundan dolayı, öncelikle doğrusal regresyon modelleri ve eğri uydurma işlemi gibi matematiksel kavramlar ifade edilmelidir.

Bir bağımlı değişken (y) birçok bağımsız değişkenden (x1,x2,…….xk) etkilenir. Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişki doğrusal bir fonksiyon ile yeteri derecede temsil edilebiliyorsa yaklaşım, çoklu doğrusal regresyon modeli olarak aşağıdaki gibi verilir:

Bu model iki boyutlu x1,x2 uzayındaki bir düzlemi tanımlar. Burada, y arzu edilen tepki, ’lar fonksiyonun bilinmeyen parametreleri, elde edilen tepkilerdeki gürültü veya modelin hata miktarı, indis olarak k ise nicel regresör değişkenidir. Eşitlik (1) ile verilen 1. dereceden çoklu regresyon modeline terimlerin etkileşimleri ilave edilerek;

eşitliği elde edilir. Benzer şekilde sistemde eğrisel bir ilişki varsa ikinci dereceden bir polinomiyal modelin kurulması söz konusudur. Bu durumda ikinci dereceden bir CYA modeli;

şeklinde yazılabilir. (2) ve (3) eşitliklerindeki matematiksel mantık izlenerek yüksek dereceli polinomiyal çoklu regresyon yani CYA modelleri türetilebilir. Ancak en çok tercih edilen model ikinci dereceden olan modellerdir. CYA analiz yönteminde ikinci dereceden modeller yaygın bir şekilde kullanılmasının nedenleri aşağıdaki gibi sıralanabilir (Montgomery 2005).

  • İkinci dereceden modellerin esnekliği gerçek tepki yüzeyine daha iyi yaklaşım sağlamaktadır.
  • İkinci dereceden CYA modellerindeki bilinmeyen parametrelerin ( gibi) en küçük kareler yöntemiyle tahmin edilebilmesi daha kolaydır.
  • İkinci dereceden CYA modellerinin daha başarılı sonuçlar verdiği birçok uygulamayla ispatlanmıştır.

2. Aşama;

İkinci aşamada elde edilen deneysel verilerin bir bilgisayar programı (Minitab, Statistica veya Matlab gibi) yardımı veya elle hesaplama yöntemi ile değerlendirilip model içerisinde kullanılacak katsayıların (bilinmeyen parametrelerin) tespiti yapılır. Katsayıları belirlenen ve son haline gelen matematik modelin kullanılmasıyla tepkiler için tahmin değerleri oluşturulur.

Çoklu regresyon modelindeki bilinmeyen parametreleri tahmin etmek için eğri uydurma işlemi gerçekleştirilir. Bu işlem sürecinde en küçük kareler yöntemi kullanılarak parametrelerin tahmini yapılır.

En küçük kareler fonksiyonu, deneylerden elde edilen veri seti ve (1) nolu eşitlik kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

burada, i  deneysel ölçüm (tepki) xij , L ise hataların kareleri toplamı olarak ifade edilen en küçük kareler fonksiyonudur. Bu fonksiyonun en kolay çözümü için matris yaklaşımı kullanılırsa:

Şekil 2. Dağılım grafiği (scatterplot) üzerinden artıkların hesaplanması.

Artıkların grafikleri model güvenilirliğinin daha iyi anlaşılabilmesi için yüzde ihtimal oranlarının dikkate alındığı veya tahmin edilen bağımlı değişkenlere göre farklı formlarda çizdirilebilir. Hataların normalliğinin kontrolünde Şekil 3(a) ile verilen tepki-% ihtimal (normal-probability) grafiği veya Şekil 3(b) ile verilen, tahmin edilen tepkilerle artıklara (predicted response-residual) ait grafikler kullanılır.

Şekil 3. Artıkların grafikleştirilmesi
                 a) Tepkilerin tahmin tutarlılık yüzdesi
                  b)Tahmin edilen tepkilere ait artıkların geçerlilik grafiği

En küçük kareler yöntemiyle eğri uydurma işlemi boyunca oluşturulan matematik modellerin güvenirliği aşağıda verilen eşitlikler kullanılarak test edilebilir.

Yukarıda verilen eşitliklerde SSE hataların kareleri toplamı, SST  hataların kareleri toplamı, F  regresyon modelinin uygunluk değeri, R2 regresyon modelinin çoklu tahmin geçerlilik katsayısı, R2adj regresyon modelinin ayarlanmış çoklu tahmin geçerlilik katsayısıdır. MSE hataların kareleri toplamının ortalaması, RMSE hataların kareleri toplamının karekökünü ve APE (%) ise ölçülen değerler ile eğri uydurulmuş (tahmin edilmiş) değerlerin ortalama mutlak yüzde hatasını gösterir. Burada R2 oluşturulan regresyon modelinin uygun olup olmadığına karar vermek için kullanılır ve değerleri “0-1” arasında değişir. Bu değer 1’e yaklaştıkça regresyon modelinin geçerliliği yükselir yani modelin tahmin yeteneği oldukça iyi demektir(Montgomery 2005).

3. Aşama;

Son olarak CYA’ya ait karakteristik üç boyutlu veya düzlemsel yüzey grafikleri çizdirilir. CYA analizi aslında dik tırmanış(steepest ascent) prosedürü olarak bilinir. Bu teknik, belirli noktalardan geçen doğru bir yol boyunca gerçekleştirilen deneyler aracılığıyla maksimum veya minimum noktaların araştırılması işlemidir (Şekil 5.). Optimum noktanın grafikler üzerinden tespiti ile optimimum faktör değerleri bulunmuş olur.

Şekil 5. Dik tırmanış prosedürü

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir